傅里葉分析期貨

A. 為什麼說傅里葉分析改變了世界觀

人們通常會直覺地認為，光滑函數通過加減乘除復合得到的函數應該還是光滑的。但根據傅里葉相關理論，鋸齒波、方波等不光滑的函數可以用無窮多個不同周期的正弦函數序列疊加而成，從這個角度來講，可以算是改變了一些人的世界觀。從哲學的角度來看，這其實就是量變到質變的過程，或者說極限帶來的效應。
另一方面，傅里葉分析在信號處理、熱分析等領域有著廣泛的應用，特別是前者在當今社會通信領域應用無處不在。它將時域信號轉換到頻域進行分析，能從看似雜亂無章的信號中分析出有價值的信息，從這一點來說，也算是改變了人們的世界觀。

B. 傅里葉分析的基本簡介

傅里葉分析（Fourier analysis）是分析學中18世紀逐漸形成的一個重要分支，主要研究函數的傅里葉變換及其性質，又稱調和分析。
法國科學家J.-B.-J.傅里葉由於當時工業上處理金屬的需要，從事熱流動的研究。他在題為《熱的解析理論》一文中，發展了熱流動方程，並指出了任意周期函數都可以用三角基來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴格的論證，但對近代數學以及物理、工程技術卻都產生了深遠的影響，成為傅里葉分析的起源。
由三角函數系{cosnx,sinnx} (n=0,1,2，…）組成的無窮級數稱為三角級數，其中αn,bn為系數，與x無關。若級數⑴對於一切x收斂，它的和記為(x）：
則(x）是一個具有周期2π的周期函數。上式兩邊分別乘以cosnx或sinnx，並且在（0,2π）上同時積分，就得到公式上面的運算是形式的，因為符號Σ與積分的交換缺乏根據。為了保證上述運算的正確性，應當對級數⑴的收斂性加以必要的限制，例如一致收斂性等。但是，上面提供的純形式運算，卻提出了一個很有意義的問題：如果(x）是一個給定的以2π為周期的周期函數，通過⑶可以得到一列系數αn,bn，從而可構造出相應的三角級數⑴。這樣得到的三角級數⑴是否表示(x）？正是傅里葉，他首先認為這樣得到的級數⑴可以表示(x）。
給定(x），利用⑶得到的三角級數⑴，稱為的傅里葉級數，而稱⑶為的傅里葉系數。這種思想可以推廣到任意區間上的正交函數系。特別，（n=0，±1，±2，…）是[0,2π]上的規范正交函數系，函數關於它的傅里葉級數為稱為 的傅里葉級數的復形式。

C. 比較好的 傅里葉分析 的數學書

《傅里葉變換》冷建華 編著 清華大學出版社 2004年
本書全面完整地論述了傅里葉變換的理論和方法，全書共分9章。第1章信號基本概念的基礎，第2章介紹連續傅里葉級數變換和連續傅里葉變換，第3章介紹拉普拉斯變換，第4章介紹離散傅里葉級數變換和序列傅里葉變換，第5章介紹Z變換，第6章介紹離散傅里葉變換。在介紹了所有7種傅里葉變換後，第7章和第8章集中介紹了離散傅里葉交換的各種快速演算法。最後一章簡要地介紹了一般的變換理論以及一般變換的主要應用。
本書對從事通信、雷達、聲納、導航、遙測、遙感、遙控以及各種信號處理工作的信息科學和技術工作的學者、研究人員以及初學者將是一本好的參考書。

D. 利用excel進行傅里葉分析做出了數據的頻譜圖後，怎麼對頻譜圖進行分析

1.EXCEL分析工具庫中內置了分析工具「傅利葉分析」，其功能是進行離散型快速傅利葉變換（FFT），也可進行傅利葉逆變換。
2.傅利葉變換是將時間序列數據轉換為頻率序列數據，以便了解序列的頻率構成。
對於時間序列可展開為傅利葉級數：

式中：

N為觀測值個數；k為周期分量個數；fj為頻率（＝j/N）
εt為誤差項，是由於選取級數前k項所產生的。
時間域序列xk變換到頻率域序列ωj的公式如下:

式中：N為序列數據項數，對第j個分量：
aj為實部，bj為虛部，模 ，輻角
3.所關心的是序列主要由哪些頻率成份構成及其振幅。操作方法如下：

Step1．取得時間序列數據{xk}，要求項數N為2的整數次冪，即2、4、8、16、32…，項數最大限制為4096。N選擇多大為好，要視頻譜分析時要分析的項數。N個數據中，最多能分析N/2+1個頻率構成。
Step2．時間序列{xk}各項減其平均數E(xk)得中心化時間序列；
Step3．利用「傅利葉分析」工具進行快速傅利葉變換，得ωj；
Step4．利用IMABS()函數求得復數的模。該序列第1項為0，去掉之，從第2項起共奇數項，中間項為常數項，兩側是完全對稱的。繪制折線圖觀察之，通常只觀察前半部分；
Step5．更改橫坐標，觀察頻率分布。
需要指出的是：數據系列的周期性，是系統的特性，並不是由采樣的時間間隔和樣本量的多寡所決定。
5.應用舉例：何先生，在自己所從事的工作中，以每分鍾等間隔抽樣200次，抽取了168383條記錄，下圖中只列出前幾條：

6.以CH#1為例，從中按順序選擇樣本量為128的樣本，編制頻譜分析圖如下：
Step1:先按順序截取128個樣本單位的樣本（必需是2的整數冪，本例為27）

Step2:在C1單元格輸入「=AVERAGE(B2:B129)」求得平均數，在C3單元格輸入公式，求得觀測值與平均值之差，並向下復制到B3:B129。
Step3:工具|數據分析|傅利葉分析，設置對話框如圖3，求得如圖2中D列的傅利葉變換。

Step4:在E2單元格輸入如圖2所示函數，求得D2單元格復數的模，向下復制到B3:B129。將B2:B129製成折線圖如圖。

由圖可見，圖形是完成對稱的，通常只看前面一半。需要指明的是該頻譜圖是由系統特性決定的，樣本量不同，其頻譜是類似的，只是圖形密集程度不同和模的大小不同。模是由多個周期樣本模的疊加的結果，樣本量越大，模越大。但這一點並不影響分析的結果，我們只考慮頻率強度從大到小的有限個頻率，即考慮主要頻率構成。
Step5:確定橫軸分類標志:
將圖形的橫軸先進行編號，編號從0開始，本例選擇128個樣本單位，編號為0~127，然後再用編號值除以128，得到一個周期，周期的倒數即為頻率。
按此方法製作了N=512、N=2048和N=4096的頻譜圖如下：

7.由圖可見，樣本量越多頻率構成越豐富。但分析頻譜時，都集中在峰值附近，不能反映面上的情況。由圖可見，模較大的頻率成分周期分布在0.13~0.26之間，也就是頻率在4~8之間，我們選擇N=256項進行分析完全夠用。由於圖形是對稱的，只看前半部分，128項，分析占總數約10%的成份，即分析12個主要頻率。操作：
（1）按順序選擇256項數據，並求平均數，進行中心化平均，使均值為0；
（2）利用「傅利葉分析」工具求得快速傅利葉變換；
（3）選擇一半的數據（從第2項到第129項）
l 利用「=IMABS(D3)」求得復數的模。
l 從第2項開始從1進行編號；以編號值除256得周期序列。
l 將周期序列求倒數得頻率。
l 以頻率為橫坐標、模為縱坐標繪制頻率分布圖：

（4）利用「=IMREAL」函數提取實部，用「=IMAGINARY」函數提取虛部，形成序列值。
（5）篩選主要成分。
l 在L列輸入第k大的順序號；
l 在M列輸入「=LARGE($E$3:$E$130,L2)」提取第k大傅利葉變換的模；
l 在N列輸入：「=MATCH(M2,$E$3:$E$130,0)」提取第k大的順序號；
l 在O列輸入：「=INDEX(I$3:I$130,$N2)」提取第k大的實部；
l 在P列輸入：「=INDEX(J$3:J$130,$N2)」提取第k大的虛部；
l 在Q列輸入：「=INDEX($H$3:$H$130,N2)」提取第k大的頻率。

於是得函數主要成分的傅利葉級數中的主成分：

E. 傅立葉分析有什麼用,分析後也看不出什麼啊

傅里葉分析其實就是把原信號（命名為A）分解為一系列不同頻率正弦，餘弦信號的疊加。我們通過分析這些正弦，餘弦信號通過系統後的效果，來替代分析原信號A的效果。

像你舉得例子中，最後一頁告訴了我們對不同頻率W下的幅值A和相位， 這樣 分解後的三角信號 Asin(wt+a)不就出來了么

最後說一下傅里葉分析的用途，卷積是一種運演算法則，它在分析信號通過系統後的輸出時非常有用，而傅里葉變換的一大優點則是將復雜的卷積變成簡易的乘積

F. 關於傅里葉分析中的不理解之處(實際上是一個高數問題)

紅框里的式子，當l趨向無窮時，就等於後面那個紅框的積分，這個就是黎曼積分的定義啊。
至於積分上下限為啥是無窮，因為第一個紅框的求和是從負無窮到正無窮。

G. MATLAB simulink中，傅里葉分析模塊是幹嘛的啊

1、Simulink是一個用來對動態系統進行建模、模擬和分析的matlab工具箱。在simulink模擬環境中，用戶可以通過點擊拖動滑鼠的方式繪制系統或電路，並完成對系統的模擬，其系統的函數和模型都是框圖來表達，框圖之間的連線則表示了信號流動的方向，即後面模塊的輸入就是前面模塊的輸出。
2、傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數或者他們積分的線性組合。傅里葉變換是對信號的正交分解。
3、很多關於電、通信的領域都需要傅里葉變換。比如：網路理論、信號與系統等課程，關鍵用於對信號的分解，就是說一個復雜的信號經分解，我們可以得到多級的正弦波的疊加，一個連續的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號經過上述分解後有助於對信號進行處理和分析。

H. 傅里葉分析的介紹

傅里葉分析Fourier analysis 分析學中18世紀逐漸形成的一個重要分支，主要研究函數的傅里葉變換及其性質。又稱調和分析。在經歷了近2個世紀的發展之後，研究領域已從直線群、圓周群擴展到一般的抽象群。關於後者的研究又成為群上的傅里葉分析。傅里葉分析作為數學的一個分支，無論在概念或方法上都廣泛地影響著數學其它分支的發展。數學中很多重要思想的形成，都與傅里葉分析的發展過程密切相關。

I. 小波分析和傅里葉分析有什麼區別，或者說兩種方法的優勢和缺點各是什麼求解釋

根本些的區別，就是傅里葉分析里，和原函數做內積的函數是正弦波，小波分析裡面的小波變換和原來函做內積的函數就不是正弦波了，而是一些時頻支集上都相對集中的函數，稱為小波，要滿足些性質，比如在整個區間上的積分是0，一般需要單位化，然後就會多出來一個尺度，這個尺度把基本小波做拉伸和縮放，構造出一系列的小波集。
時頻分析一般會先講加窗福利葉變換，然後引出小波變換，最後會講Wigner-ville分布。
這是基礎方面的知識。
至於應用的話，要根據具體的情況具體的對待的，什麼時候該用什麼才好是要看具體的問題的。

J. 傅里葉分析的發展現狀

20世紀 20世紀初，H.L.勒貝格引入了新的積分與點集測度的概念，對傅里葉分析的研究產生了深遠的影響。這種積分與測度，現在稱為勒貝格積分與勒貝格測度，已成為數學各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒貝格用他的積分理論，把上面提到的黎曼的工作又推進了一步。例如，根據勒貝格積分的性質，任何勒貝格可積函數的傅里葉級數，不論收斂與否，都可以逐項積分。又例如，對於[0,2π]上勒貝格平方可積的函數，帕舍伐爾等式成立
傅里葉級數，特別是連續函數的傅里葉級數，是否必處處收斂？1876年P.D.G.杜布瓦－雷蒙首先發現，存在連續函數，它的傅里葉級數在某些點上發散；後又證明，連續函數的傅里葉級數可以在一個無窮點集上處處發散。這反面結果的發現提醒人們對傅里葉級數的收斂性應持審慎態度。 進一步的研究導致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立單位圓上H空間的理論。他們研究了單位圓內使有界的解析函數F(z），這里0<r<1，而p>0。這類函數的全體，稱為H空間，它是近代H空間理論的先驅。
通過傅里葉級數刻畫函數類是傅里葉分析中的重要課題，著名的帕舍伐爾公式以及里斯-費希爾定理反映了函數類l(0,2π）的特徵。如果P≠2，則有以下的豪斯多夫-楊定理。 設1<p≤2,p┡=p/(p-1），如果∈l(0,2π），Cn是的復傅里葉系數，那麼
反之，如果{сn}(-∞<n<；∞）是滿足的復數列，那麼{сn}必為中某函數的傅里葉系數，且。 20世紀50年代以前的重要工作中，還應當提到哈代與李特爾伍德的其他許多貢獻。特別是30年代，他們用極大函數研究傅里葉級數，取得了很深刻的結果。極大函數是一種運算元，它的定義是極大函數M ()(x）比函數自身要大，用它來控制傅里葉分析中某些運算元，可以達到估計其他運算元的目的。
50年代以前，傅里葉分析的研究領域基本上限於一維的具體空間，50年代以後的研究，逐漸向多維和抽象空間推廣。 積分理論名稱：考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論
由於偏微分方程等許多數學分支發展的需要，50年代出現的考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論，標志了調和分析進入了一個新的歷史時期。例如，當∈l(Rn），泊松方程Δu=的基本解u(x）的二階導函數，在一定條件下（例如具有Lipα連續性），可以表成如下的奇異積分
сn為某常數，僅與維數n有關。積分 ⑻作為勒貝格積分一般是發散的；注意到Ωj(y）在R的單位球面S上的積分為0，可以證明，積分⑻在柯西主值意義下存在，並且作為x的函數是連續的，從而u(x）是泊松方程的解。
考爾德倫、贊格蒙研究了一類相當廣泛的奇異積分運算元⑼的性質，這里Ω(y) 是具有一定光滑性的零階齊次函數，且滿足條件。他們證明了這種積分運算元具有l有界性（p>1）；利用這些性質，可以得到某類微分方程中解的「先驗估計」。
h空間理論的近代發展 E.M.施坦、G.韋斯於20世紀60年代，引進了上半空間上的h空間，它們是n=1的推廣。當n=1時，h(p>0）空間中的函數在R=(-∞，∞）上的邊值函數幾乎處處以及在l范數下都存在，施坦、韋斯定義的多維空間，顯然是一維h(R崹）空間的推廣。人們自然要問，經典的h(R崹）空間中最基本的性質，例如邊值函數的存在性等，在多維空間中是否還被保留？施坦、韋斯首先發現，p>(n-1)/n時，答案是肯定的；例如他們證明，若F∈，p>(n-1)/n，那麼幾乎處處以及在L范數意義下都存在。1964年，考爾德倫、贊格蒙利用高階梯度概念，原則上把h空間的上述限制p>(n-1)/n放寬為p>0，但他們的方法比較復雜，隨著指標p的不同，h空間定義的一致性，當時並不清楚。
70年代初，h空間的近代理論經歷了引人注目的發展。D.L.伯克霍爾德、R.F.岡迪、M.L.西爾費斯坦於1971年，首先就一維的情形，證明的充分且必要的條件是，F(x+iy）的實部u(x,y）的角形極大函數，
稍後，C.費弗曼、施坦又把上述特徵推廣到多維中去，並且進一步指出，當0<p<；∞時，(x）作為中某函數的邊值函數的充分且必要的條件是：存在充分光滑的函數φ(x），，使得關於φ的角形極大函數，這樣，作為h(R）函數的實變函數論特徵，它完全可以脫離泊松核，也無需藉助於解析函數或調和函數的概念，而純粹是實變函數論的一種內在特性的反映，這是出乎人們的想像的。 對於R=(-∞，∞）上定義的非周期可積函數(x），傅里葉積分
代替了傅里葉級數⑴，而稱為的傅里葉變換。
傅里葉級數⑴ 和傅里葉積分⑽的具體形式不同，但都反映了一個重要的事實，即它們都把函數分解為許多個分量e(-∞<z<；∞）或e(n=0，±1，±2，…）之和。例如對於傅里葉級數⑴，(x）分解為сne(n=0，±1，±2，…）之和；而傅里葉積分⑽則表明，(x）可以分解為無窮個弮（z)e(-∞<z<；∞）之「和」。分量的系數сn(n=0，±1，±2，…）以及弮（z)(-∞<z<；∞）的確定，也有類似之處。事實上，它們都可以用下面的形式來表達：
。⑾
當為具有2π周期的周期函數時，G=(0，2π），
，測度 是G=[0,2π]上的勒貝格測度，此時，即傅里葉系數⑷；當 為定義在（-∞，∞） 上的非周期函數時，x(t)=(-∞<x<；∞），而是（-∞，∞）上的勒貝格測度，公式⑾即為傅里葉變換。
把函數分解為許多個「特殊」函數{e}之和的思想，啟發人們考慮更為深刻的問題。事實上，從群的觀點看，無論是周期函數還是非周期函數，它們的定義域都是拓撲群G，就是說，G有一個代數運算，稱為群運算，以及與之相協調的極限運算，稱為G的拓撲。傅里葉級數或傅里葉積分的任務，正是研究G上定義的函數(x）分解為群上許多「特殊」函數（例如e或e）之和的可能性，以及通過傅里葉系數或傅里葉變換來研究自身的性質。對於一般的拓撲群G，相當於{e}或{e}的「特殊」函數是哪種函數；把這種「特殊」函數x(t）代入公式⑾，又必須確定G上的測度μ，以求出 的傅里葉變換，這是在群上建立傅里葉分析理論所必須解決的兩個基本問題。對於直線群R=(-∞，∞），它的 「特殊」函數x(t)=e(-∞<x<；∞）的特殊性，就在於它們滿足以下的三個條件：①x(t+s)=x(t)x(s），②|x(t)|=1，③x(t）是t的連續函數。用群表示論的術語來說，條件①、②、③合起來，正好說明x(t）是群R的一個酉表示，而且進一步可以證明，滿足①、②、③的不可約的酉表示的全體就是 {e}(-∞<x<；∞）。對圓周群T而言，T的「特殊」函數全體xn(t)=e(n=0，±1，±2，…）除滿足①～③以外，還滿足條件④xn(2π)=1。從群表示論的觀點看，條件①～④合起來，說明T的「特殊」函數正好是群T的酉表示；進一步則可證明，T的一切不可約酉表示正好就是{e|n=0，±1，±2，…}。這樣，尋找一般抽象群G上合適的「特殊」函數的問題，就轉化為研究和尋找群G上一切不可約酉表示的問題。對於緊群或局部緊的交換群，群表示論的結果已經相當豐富，相應的「特殊」函數的研究也比較成熟。至於既非交換又非緊的拓撲群，尋找相應的「特殊」函數，尚是一個值得探索的難題。
研究拓撲群上的測度是建立群上傅里葉分析的另一個基本課題，因為群上的積分⑾離不開相應的測度。以可加的局部緊拓撲群R=(-∞，∞）為例，經典的勒貝格測度的主要特點是：①R中任一緊集的勒貝格測度必為有限；②R中任何可測集的勒貝格測度關於右（或左）平移是不變的。人們自然要問，一般的拓撲群上，具有①、②兩條件的測度（現在稱為哈爾測度）是否存在？存在的話，是否唯一？這個問題，自1930年以來，經A.哈爾，A.韋伊以及И。М.蓋爾范德等人的努力，已經證明，在局部緊的拓撲群上，滿足條件①、②的哈爾測度是一定存在的，並且相互間僅差常數倍。例如，以乘法為群運算的全體正實數構成一拓撲群R，它的拓撲就是歐氏空間的拓撲， 那麼測度dμ=xdx就是R上的哈爾測度。這是因為，對於任意的，
這說明測度dμ=xdx關於位移是不變的。如果進一步求出群R的一切不可約酉表示，則經過計算，可以證明R的一切不可約酉表示就是{x|- ∞<t<；∞}。這樣，由公式⑾，對於群R上的可積函數(x), 的傅里葉變換。
上式表達的弮（t）正好又是經典的所謂梅林變換M (x），是R.H.梅林19世紀末為研究狄利克雷級數的有關性質時引進的。這個特例說明，群上的傅里葉分析，不僅把梅林變換統一到傅里葉變換中來，更重要的是，群論觀點的引入，使得隱藏在某些現象背後的內在聯系，被揭示得更清楚更深刻了。 A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed.,Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959.
E.M.Stein,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ. Press,Princeton,1970.
G.M.Stein and G.Weiss，Introction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
E.Hewitt and K.A.Ross,Abstract harmonicAnalysisVol.1～2,Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.