ito期權期貨

❶ 關於perpetual american option的自由邊界

有關期權的定價首先要明白兩個原理：無套利和風險中性，所有的數學推演都是在這兩個前提假設下展開的。
為了引出永久期權的定價，必須先介紹一個非常經典的思想方法：Δ對沖技巧。也就是通過構建一個由原生資產（股票）和期權的投資組合∏=V-ΔS，使得在經過一段時間以後，投資組合的收益在彌補了賣空股票的紅利損失後與買入同樣價值國債相當。也就是說dV-ΔdS=r(V-ΔS)dt+ΔSqdt。因為是永久期權，所以V只和S有關，而根據期權理論研究一貫的假設S滿足ds=r(S,t)dt+σ(S,t)dWt，用ito公式對該式做全微分，可以得到Δ=dV/ds（這部分不明白可以看看相關參考書，因為這個內容屬於BS定理，一般在美式期權之前教授，我看你沒問，應該多少懂一點）
把Δ=dV/ds代回到dV-ΔdS=r(V-ΔS)dt+ΔSqdt，就可以得到方程了
[(σS)^2*d^2V/(dS)^2]/2+(r-q)SdV/dS-rP=0
同時還有初值條件V(S0)=S0-K(敲定價)，V(0)=0（股價跌到0當然期權也就廢紙一張了）
到這里其實就是很基本的工作了，因為不同於有續存期的期權方程需要用到熱傳導方程解法，現在的方程[(σS)^2*d^2V/(dS)^2]/2+(r-q)SdV/dS-rP=0就是一個簡單的二階常微分方程了，用特徵根的方法和兩個定解條件很容易求得V(S)=S0^(-a)+(S0-K)*S^a 其中a是特徵根方法下，大於0的那個根。
下面的這一步應該就是永久美期解法中最核心的部分。
如上得到的期權定價是一個關於S0的函數，換言之，期權持有人需要決定在S0為多大時，他行權可以獲得最大收益。這就是所謂的自由邊界，V(S)與S0的大小息息相關，相互決定。
現在要做的就是把V看成S0的函數，對S0求導，當dV/dS0=0時，所確定的S0，就是使V(S,S0)最優的S0，我做出的結果是S0=[a/(a-1)]*K，代回V，就得到期權的定價V(S)={[(1-1/a)^a]*(K^1-a)*(S^a)}/(a+1)

不知道你能不能看懂，我想看這個問題應該是研究生了吧，靜下心來好好推導一遍，也不是非常難的。

❷ 准備去美國讀金融碩士，應該提前看看哪些金融方面的書

其實習題無所謂

Pindyck, Rubinfeld的微觀是基礎 Varian的中級微觀還是很必要的

Dornbusch的宏觀是國際視野的宏觀經濟學 他本人的超調模型尤為著名 Blanchard的宏觀也是很優秀的作品 宏觀的全球視角不是Blanchard的 而是薩克斯的 他是休克療法比較早期的倡導者 也是很好的教輔 看看基礎就可以了 因為像經濟學專業都會參考Romer的高宏或者 Barro的經濟增長 那些都是模型討論 對你不是很有用

國際經濟學Krugman的書足夠了 你是學金融的 沒必要看太多經濟理論方面的書 主要還是了解framework, model和詞彙的表達

Rosen的財政學也基本上看看就可以了 對金融沒有什麼特別幫助

Mishkin的教材是核心 是重點 好好看 從金融基礎到金融市場 乃至國際金融 還是金融危機的案例討論 是相當好的教材 Handa的貨幣經濟學是理論類的高級教材

國際金融參考Krugman的國際經濟學 裡面的後半本都是國際金融 enough了

Hull的書不是那麼好看的 我建議你可以先看看金融數學 把Ito微分的由來和用途搞清楚 然後再看Hull的書 另外Hull的書還注重實務操作 有很多很實際的例子 不是一下子能把握的了的

Bodie的投資和Ross的公司財務都是很經典的作品 確實可以看看

計量的話 Woodridge 的計量經濟學導論是很好的入門教材 裡面還涉及了金融時間序列分析 Enders的或者Tsay的金融時序分析也是很高的教材 但是後面的教材對矩陣分析的能力要求很高 概率論的要求更不用說

數學的話 推薦統計推斷 很優秀的應用概率論教材 如果真的決心學習金融定價的話 需要從數學分析原理-實分析-測度一條線 隨機過程的話參考Ross和Shreve的教材 數值模擬方面的書也是很有必要的 另外你要做好學計算機的准備 如果是讀金融工程的話

所以最好是現在把
Investments
Corporate Finance
Mishkin's Econ of Money, Banking and Financial Markets
Hull's Derivatives
Ross的應用隨機過程看懂 裡面的詞彙牢記 就很好了

❸ ito引理是什麼

那是期權定價里用來求解隨機微分方程的公式

❹ 想要完全掌握金融工程需要哪些學科的哪些教材

金融工程是一門比較難的學科，綜合性很強，不是看幾本書就可以自己成功，完全掌握的。至少我是這樣認為，這個學科綜合了金融，數學，計算機三個學科。下面就推薦幾本這幾個學科的教材供參考吧。

• 首先是計算機

基本的編程一定要會的，所以先學習一個C語言。我推薦你可以看看譚浩強的中國高等院校計算機基礎教育課程體系規劃教材：C程序設計（第4版）這本書還是寫的很詳細；其次是學習MATLAB我前面為什麼要提到C語言，因為你想學習MATLAB，你必須有一個C語言基礎。我建議MATLAB R2012a完全自學通（升級版）這本書；

總的來說，如果你的時間充裕的話，建議跟著正規的教學計劃去學習，去旁聽學校的課程，這會比自己一個人摸黑探索來的更有效率的。

❺ 期權定價的數學模型和方法的圖書目錄

再版序言
第一版序言
第一章風險管理與金融衍生物
1.1風險和風險管理
1.2遠期合約與期貨
1.3期權
1.4期權定價
1.5交易者的類型
第二章無套利原理
2.1金融市場與無套利原理
2.2歐式期權定價估計及平價公式
2.3美式期權定價估計及提前實施
2.4期權定價對敲定價格的依賴關系
習題
第三章期權定價的離散模型——二叉樹方法
3.1一個例子
3.2單時段一雙狀態模型
3.3歐式期權定價的二叉樹方法（Ⅰ）——不支付紅利
3.4歐式期權定價的二叉樹方法（Ⅱ）——支付紅利
3.5美式期權定價的二叉樹方法
3.6美式看漲與看跌期權定價的對稱關系式
習題
第四章Brown運動與ItO公式
4.1隨機游動與Brown運動
4.2原生資產價格演化的連續模型
4.3二次變差定理
4.4ItO積分
4.5ItO公式
習題
第五章歐式期權定價——Black-Scholes公式
5.1歷史回顧
5.2Black-Scholes方程
5.3Black-Scholes公式
5.4Black-Scholes模型的推廣（Ⅰ）——支付紅利
5.5Black-Scholes模型的推廣（Ⅱ）——兩值期權與復合期權
5.6數值方法（Ⅰ）——差分方法
5.7數值方法（Ⅱ）——二叉樹方法與差分方法
5.8歐式期權價格的性質
5.9風險管理
習題
第六章美式期權定價與最佳實施策略
6.1永久美式期權
6.2美式期權的模型
6.3美式期權的分解
6.4美式期權價格的性質
6.5最佳實施邊界
6.6數值方法（Ⅰ）——差分方法
6.7數值方法（Ⅱ）——切片法
6.8其他形式的美式期權
習題
第七章多資產期權
7.1多風險資產的隨機模型
7.2Black-Scholes方程
第八章路徑有關期權（Ⅰ）——弱路徑有關期權
第九章路徑有關期權（Ⅱ）——強路徑有關期權
第十章隱含波動率
參考文獻
名詞索引
……

❻ 本科生適合讀 約翰·赫爾的 期權、期貨及其他衍生品 嗎

這要看你學的什麼專業了，如果數學基礎比較好的話，讀起來比較容易。
其實除了微積分之外，只要知道ito公式和Girsanov變換就夠了。如果你把這兩個東西補一下，同時有點微積分基礎的話，讀這本書沒什麼問題。
不過怎麼說呢。。。這本書主要是為礦工服務的。。。金融危機之後，貌似礦工行業很不景氣啊。。。

❼ 突發事件對投資期權的影響

礦業項目是投資周期長、投資額度大的經營項目，同時一些國家的政治形勢、經濟環境，以及市場環境的狀況等，都直接影響著礦業投資項目的正常發展。

（1）礦業投資的期權特性

設某企業面臨一個境外礦產資源開發的投資機會，在該投資項目從建設期到營運期的全過程中，可能存在下列的各種實物期權，這些實物期權的存在將有效提高管理者的營運機動性和戰略適應性。

1）延遲投資期權。礦業投資受許多不確定性因素的影響，由於難以得到這些不確定變數的真實資料，可以暫緩進行大規模的投資，這就是所謂的延遲投資期權。因此，假設當前時刻為0，在以後任意t時刻，若該項目預期可實現的各期凈現金流量的現值之和為V_t，項目投資的現值之和為I，則該延遲投資期權在該時刻被執行時的價值為max（0,V_t-I）。對於企業來講，可以通過租賃或簽訂買權合同來構造延遲投資期權。

2）擴張期權。如在項目進行過程中發現礦產品市場比原來預期的要好得多，則可以考慮加速或擴大投資計劃，例如可通過追加投資I_E，使得項目的價值增加x%，這稱之為擴張期權。擴張期權實際上可以看成是一個買權，其執行價格即追加投資I_E。如果項目在t時刻的價值為V_t，則此時擴張期權的執行價值為max（0,x%V_t-I_E）。也就是說，一個具有擴張期權的投資項目，可以看成是一個價值為V_t的基本項目加上一個未來可追加投資的擴張期權。

3）收縮期權。收縮期權的作用恰好與擴張期權相反，它在市場實際狀況比預期差的情況下，企業縮減原計劃的投資規模。其結果一方面節約了部分投資I_c，同時，使得項目價值從原來的V_t相應減少了c%V_t；收縮期權執行時的價值為max（0,I_c-c%V_t），即如果I_c大於項目價值的減少額c%V_t時，企業將執行該賣權，即決定收縮項目。否則，項目仍將按原計劃進行。

4）停啟期權。如果礦產品市場出現暫時的不景氣，價格的下跌使開采所得的現金流不足以補償變動成本，礦山企業暫時停止開采，等礦產品的市場價格回升後再重新啟動。但在項目的暫停及重新啟動過程中，相應的成本因素不容忽視。對於項目壽命期內任意一年t，設項目當年預期產生的收入為R_t，相應的成本為C_t，且忽略停啟成本不計，則停啟期權可以看成是企業擁有一個以執行價格C_t獲得項目預期收入R_t的買權。顯然，R_t大於C_t（收入大於成本）是企業執行該買權的前提，即該買權執行時的價值為max（0,R_t-C_t）。

5）放棄期權。所謂放棄期權，是指在項目建設過程或壽命期內，企業根據其實際運行結果決定放棄投資，將項目資產殘值變賣或轉向其他有價值的項目。因此，放棄期權的執行意味著項目的半途中止。假設項目的價值是V_t，項目資產的殘值或轉向他用的價值是A。當A大於項目價值的V_t時，將執行放棄期權。

6）企業增長期權。企業增長期權是指該項目與其他有價值的項目之間構成了一個價值鏈，因此該項目的實施可能為企業今後的發展創造更加廣闊的空間和機會。例如，對於煤電一體化的企業來說，一個煤炭開發項目中的投資，如果孤立地看，由於成本較高，該項目的實施本身並無多大的吸引力，但從戰略角度看，項目的實施能夠降低與其相關的發電部門的生產成本，增加其相應的收益，從而大大增加公司在市場上的競爭力。因而，對於某些礦業投資項目來說，項目的價值並不取決於其本身所產生的凈現金流大小，而是表現在其為企業所提供的未來成長機會。從期權分析的角度看，企業增長期權屬於期權的期權，即不同項目的復合期權。

（2）礦業境外投資中的各類突發事件

法律問題。境外投資辦礦應特別注意投資國的法律問題，如果處理不當，很可能引發一系列沖突和矛盾。比如我國某公司秘魯鐵礦，曾頻繁出現工人罷工事件，其原因就在於該公司在當時還不了解當地工人福利、勞工保障、工會組織形式等相關法律制度的情況下，同企業工會組織簽訂了多達35項的福利條款協議，包括公司秘鐵職工及其家屬全部享有免費醫療、免費教育、免費居住和免費水電等，致使企業蕭條後工人罷工、企業停產等事端不斷。

另外，對於投資國環境保護的法律也要特別關注。1993年我國某礦產公司與巴西一企業在巴西的貝羅奧里藏特市合資建立了一座小型煉鐵廠，考慮到巴西有豐富的鐵礦資源並擁有大面積森林，從而決定用木炭煉鐵，1t生鐵消耗5m³木材。可是沒有料到，煉鐵廠剛剛建成投產，巴西國會就通過了一項保護森林資源的法律，嚴禁亂砍濫伐森林樹木。突然之間煉鐵廠失去了能源，而巴西又缺少煉焦煤，失去木炭來源，煉鐵廠只好報廢，對企業造成了巨大的損失。

合同問題。獨資或合資到國外開礦，涉及所在國法律的問題很多，如果對於該國法律了解不全面，簽訂的合同條款不嚴謹，或者雙方未能有效溝通，會給日後的經營帶來不少麻煩。例如，我國某公司花1.2億美元收購了秘魯某鐵礦，同時承諾在3年內每年再投入5000萬美元用於礦山發展。合同生效礦山運營後，該公司也投入了一定的資金，但秘魯方面卻認為中方失約，未履行承諾，表示要收回該礦。其原因就在於秘魯方面所指每年投入5000萬美元必須是由秘魯境外投入，由境外匯入其境內，而在其境內贏利再投入則無效，既使企業盈利也必須先匯出秘魯然後再由境外匯入才算有效。首鋼當時對此沒有注意，因為外匯由秘魯匯出，秘魯可獲得紅利稅。

（3）突發事件對礦業期權投資影響的理論分析

礦業投資項目受許多不確定因素的影響，這些不確定性因素包括市場性的因素和非市場性的因素，給礦業投資帶來較大的投資風險。我們把這種非市場性的不確定性因素稱為突發因素，包括經濟環境的變化、政策因素、新工藝技術出現等。突發事件具有隨機性，在有突發事件存在的情況下，礦業投資項目的投資價值的隨機過程可由下式表達：

dV＝（r－δ）Vdt＋σVdz+Vdq （8.10）

式中：r為無風險利率；δ為市場風險貼水；σ為投資價值波動率；dq為突發事件對投資價值的隨機影響，其為平均到達率為λ的poisson過程。

許多突發事件是可預期的，但其到達的時間是隨機的，突發事件對礦業投資價值的影響可能是正的影響，也可能是負的影響。其發生的概率分別為π和1－π。dq對投資價值的影響程度可用百分比值θ來表示。dq在不同的取值θ下發生的概率P 為

國外油氣與礦產資源利用風險評價與決策支持技術

設F（V）為投資項目的期權價值，在最優投資時點上，有

F（V^*）=V^*-I （8.12）

當投資者立即投資時，投資者就放棄了繼續等待的期權，並產生了投資機會成本。若dF（V）的期望值E[dF（V）]=rF（V）dt，投資者可選擇繼續等待，即暫且不進行項目的投資。由Ito定理知：

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dz為均值為0的正態分布，且假設投資機會可以推遲很長時間，投資機會就像一個美式永久期權，F的取值與時間t無關，因此有

國外油氣與礦產資源利用風險評價與決策支持技術

式8.13可改寫為

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上式化簡為

國外油氣與礦產資源利用風險評價與決策支持技術

邊界條件為

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式8.14的解的形式為

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這里有：

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由邊界條件可求得V^*：

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（4）實例研究

某礦業集團對其境外的某礦山進行改擴建投資，項目的初始投資成本為8000萬元。該礦山投資項目可看作為一風險投資。根據市場調查資料，其礦產品價格的期望增長率為0.01，波動率為0.1；單位生產成本的期望增長率為0.01，波動率為0.1。投資時的初始礦產品價格為410元/t，初始生產成本為220元/t，該礦業投資項目的年產量為300萬t，服務年限為20年，社會無風險利率為8%。由凈現值法（NPV法），該礦業投資項目的凈現值可表示為

國外油氣與礦產資源利用風險評價與決策支持技術

ⅣPV法反映了立即進行投資時的礦業投資價值。而在大多數情況下，投資者在投資時機上具有很大的選擇性，即投資靈活性。礦山投資靈活性的價值反映了礦山投資的期權價值。此外，礦山投資項目受許多突發事件的影響，這些突發事件對礦山價值影響的隨機過程可由式8.11來表示，設δ＝0.01，礦山投資價值波動率為0.1，θ＝0.15，π＝0.6，λ＝0.025，由式8.16和式8.17可知，在存在突發因素的影響時：

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由式8.18可得：

國外油氣與礦產資源利用風險評價與決策支持技術

F反映了礦山投資機會的價值。礦山項目的投資價值應由兩部分組成：項目ⅣPV價值和項目投資機會價值（期權價值），因而在考慮突發事件影響時的礦山投資項目的價值為473474.3+66291.4=539765.7萬元。由於該突發事件對礦山投資的有利影響（θ﹥0），使得該礦山投資的投資機會價值有所增加，因而增加了該礦山投資的投資價值。

（5）結論

1）礦業投資具有投資的不可逆性和投資價值的不確定性，因而具有較高的投資風險。廣泛採用的NPV法在對這類項目進行評價時，未能考慮投資不確定性因素的影響，忽略了投資項目價值的未來增長機會即投資機會的價值，往往低估了項目的投資價值。實物期權評價方法把礦業投資看作為一可執行的期權，充分考慮了投資的可延遲性給投資帶來的投資機會價值，彌補了NPV法的缺陷，使礦業投資項目的評價更加符合實際。

2）突發性因素也是影響礦業投資項目的投資價值的因素之一，這些因素包括經濟環境因素、政策因素、競爭者的介入、新的工藝技術的出現等，突發性因素具有一定的可預測性，但其到達的時間是隨機的，NPV法無法對這些突發性因素的影響進行評價和分析。藉助實物期權評價方法可很好地對這一問題進行分析和研究。

3）影響投資價值的不確定性因素隨機過程是復雜的。模型仍需建立在假設的基礎上。當考慮的不確定性因素較多時，模型更加復雜，有時可能無法得出其解析解，需要應用數值分析的方法來進行研究。應用實物期權評價方法對礦業投資進行分析是一種可行的嘗試，藉助於數值分析方法和計算機手段可對更復雜的問題進行進一步的探索和研究。

❽ 期權的定價方法

這是一個老題目了，在知乎里也有一些類似的問題，但總感覺所有回答都有所欠缺，所以希望在這里對所有的數值方法進行一個梳理。按照我個人的分類，期權定價的數值方法分為五個大類：解析解方法，樹方法，偏微分方程數值解方法，蒙特卡洛方法，傅立葉變換方法。

1）解析解方法：

一個期權定價問題，其實就是根據已知的隨機微分方程（SDE）模型，然後來求解關於這個隨機過程函數表達式的過程。這也是為什麼隨機微積分和Ito lemma會是金融工程的核心知識之一，因為Ito直接告訴了我們一個隨機過程的函數所滿足的新SDE：

m{d}f(t, X_{t})=frac{partial f}{partial t} m{d}t + frac{partial f}{partial X_t} m{d}X_t + frac{1}{2}frac{partial^2 f}{partial X_t^2} m{d}[X, X]_t

然後，如果我們可以求出這個SDE的解析解，那麼一個歐式無路徑依賴期權的價格就是它在終值時刻折現的期望值。這就是一種期權定價的解析解方法，當然你也可以利用PDE來求解，由於Feynman Kac定理的存在，PDE和條件期望的答案會是一致的。

而這類方法的優點是顯而易見的，一旦解析解存在，那麼期權的價格公式計算速度就會非常之快，不論做擬合還是優化都會有效率上質的提升，而這類方法的缺點也很明顯，那就是，對於大部分模型和大部分奇異期權，解析解未必存在。

2）樹方法

之所以叫樹方法而不叫二叉樹，是因為我們也將討論三叉樹模型，但其實本質思想是一模一樣的。

如果告知你了一個標的資產的波動率，那麼你可以通過下述式子構造一個N段的二叉樹的上下波動：

u = m{e}^{sigmasqrt{T/N}}, d = m{e}^{-sigmasqrt{T/N}}

然後利用逆推，來得到初始時刻的期權價格。

那麼三叉樹呢？首先要明白一個道理，除了滿足了下列條件的三叉樹模型(u是上叉，d是下叉，l是中叉)

其餘的三叉樹都是incomplete market。在其餘的樹模型下，我們只能做到super-replicate，而不能完成perfect hedge。而這獨有的一種三叉樹模型，也成為了最常用的樹模型之一。或許有人好奇為什麼有二叉樹了，還有人使用更麻煩的三叉樹。這是因為三叉樹的收斂速度要高於二叉樹。

那麼樹模型的優缺點又是什麼呢？樹模型有一個任何連續時間模型都無法取代的優點，那就是每一個定價，在樹模型里，不論美式、歐式、路徑依賴、奇異，通過Backward Inction Principle得到價格，永遠都是伴隨著顯式對沖策略的。而在連續時間模型里，想獲得連續時間對沖策略的這類問題，是一個倒向隨機微分方程（BSDE）問題，有很多時候並不是那麼好解決的，尤其是當期權有奇異或美式屬性的時候。

另一方面，樹模型缺點也顯而易見，高維度問題樹模型是不能解決的，所以對於多個標的資產的問題，尤其是具有相關系數的資產，我們只能訴之於他法。而從速度上來講，樹模型的收斂速度是要低於PDE方法的。

3）PDE方法

很多對於quantitative finance陌生的人也會聽說過Black Scholes PDE。而實際上，不同的隨機模型，都會對應不同的PDE。BS PDE只不過是單資產符合幾何布朗運動隨機模型的PDE表達罷了。因為對於期權，我們往往知曉它最終到期日的payoff，所以我們用payoff函數來作為這個PDE的終值條件。

如果PDE存在解析解，最優辦法自然也是求解析解。然而，如果解析解不存在，我們就必須訴諸數值方法。最常用的數值解方法就是有限差分，也就是將所有變數構造一個網格，然後利用網格上的差分方法來估計偏導數，進而將PDE問題轉化為代數問題。而對於期權定價的PDE，我們會根據期權的性質，獲得這個PDE終值條件和邊值條件。然而，有時候根據不同的模型，我們可能得到的並不是一個簡單的PDE，而可能是PIDE（partial integral differential equation），也就是在PDE中多了積分項，這時候，我們需要同時再藉助數值積分來完成數值計算。

PDE的數值問題自然還有很多的選擇，有限元、譜方法都在列。但期權定價PDE本身並不像很多物理PDE有很大的非線性程度，邊界也並沒有那麼奇怪，所以基本上有限差分是可以解決絕大部分問題的。

有限差分法分三種：顯式差分，隱式差分，交錯差分。我們不深入研究演算法，但幾個點就是：穩定性上，顯式差分是條件穩定的，另外兩種都是無條件穩定；計算復雜度上，顯示最簡單，隱式次之，交錯最繁瑣；精確性上，顯式、隱式是同階的，交錯差分的特殊情形，顯式和隱式各佔一半時，也就是Crank-Nicolson差分，精度會在時間上也上升一階。

另外，在期權定價中PDE有兩大類，正向和倒向。傳統的BS PDE就是倒向的一個典型例子，它的終值條件就是期權的payoff function。而一個倒向PDE所對應的正向PDE，它不再是期權價格滿足的PDE，而是這個標的的「價格密度」所滿足的PDE。這個「價格密度」被稱為State price，或者Arrow Debreu price，抑或是Green function。而這個在我之前的一篇文章有介紹過

Arrow Debreu price與快速擬合

而PDE方法的缺點主要有兩點：路徑依賴問題，高維度問題。很多路徑依賴問題的PDE形式是很麻煩，甚至無法表達的，比如亞氏期權，比如回望期權。而對於高維度問題，如果PDE的數值方法會從平面網格上升到空間網格，在復雜度上不但繁瑣，而且在邊值條件上更難以控制。而PDE的優點則是速度快，而且根據差分的數值方法，在計算Greeks的時候不需要加以再次的bumping計算。舉個例子，如果不降維，一個具有兩個assets的期權的有限差分就是這樣的一個立方網格：

4）蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是目前應用范圍最廣泛的方法了。因為不存在提前行權屬性的期權價格其實就是一個期望，所以我們就可以通過模擬很多的路徑，來用平均數估計真實期望。而美式或百慕大這種具有提前行權屬性的期權，它的期權價格其實是一個隨機優化問題。這類問題我們可以採用regression-based Monte Carlo，也就是最小二乘蒙特卡洛，利用regression來估計conditional NPV，然後再用蒙特卡洛求解當前價值。

所以說，蒙特卡洛方法是最為general的方法了。然而，蒙特卡洛的缺點也是顯而易見：因為要模擬上百萬條路徑，而且對於奇異期權還要做路徑上的計算，美式更要做回歸，蒙特卡洛方法成為了計算時間長的代名詞。但幸運的是，我們有三種提速的方法：1，利用方差縮減，在保證方差恆定的基礎上，可以減少模擬路徑；2，利用Multi-level 蒙特卡洛，減少complexity；3，利用GPU或超級計算機，進行並行計算。

對於普通蒙特卡洛方法，上述三種方法都是可行的，而且GPU的提速是非常顯著的。對於方差縮減，得強調一點的就是，一般而言，最簡單的方式是對偶變數，其次是控制變數，然後是利用條件期望，最難的是importance sampling，而在效果和適用范圍上，它們的排序往往是剛好相反的。比如美式期權的最小二乘蒙特卡洛，方差縮減的最有效手法就是important sampling，其他方法的效果很小。

這里另外再著重強調一下最小二乘蒙特卡洛。最小二乘蒙特卡洛的流程大致如下：首先，正向模擬標的路徑；其次，倒向在每個時間節點，對所有路徑值進行回歸，估算條件期望，直到初始時間點；最後，求平均。所以值得注意的一點就是，在這里，如果單純使用GPU cluster進行提速，效果並不是很理想，因為路徑模擬並不是最消耗時間的步驟，對所有路徑回歸才是。雖然如此，但其實還是可以用GPU cluster來對回歸精度加以提升，比如可以將路徑進行歸類，然後將global regressor轉換成多個local regressor。

總的來說，蒙特卡洛方法是期權定價中適用范圍最廣的數值方法，但也是最慢的方法。然而，我們可以利用方差縮減、復雜度縮減，以及GPU計算來優化我們的蒙特卡洛演算法，達到提速與增加精確性的目的。

5）傅立葉方法

傅立葉方法也被稱為特徵函數法，利用的就是對於很多的模型，它們的特徵函數往往是顯式表達的，比如靠具有independent increment的infinitely divisible process來決定的模型，因為在這樣的情況下，我們有Levy-Khintchine representation，很多擬合性質很好的過程，比如Variance Gamma，Normal Inverse Gaussian都屬於這一類。而特徵函數實際上可以看作是一個隨機變數的傅立葉變換，這也就是這個名字的由來。

如果我們有顯式表達的特徵函數，我們可以通過傅立葉逆變換來得到原隨機變數的密度，進而達到求解期權價格的目的。一般來講，這樣的方法要比PDE方法更加快速，因為數值積分的速度要比微分方程數值解的速度要快。然而，這類方法的缺陷也是顯而易見的，路徑依賴性和維度問題，以及我們必須要有顯式表達的特徵函數。

總結：

在這里，我們只講一些面上的東西。具體深入的東西，我會在公眾號：衍生財經上詳談。

❾ 為什麼期權是非線性衍生工具

因為有gamma。 簡單點說， 你股票漲1%你的期權合約漲的不是1%，股票跌1%的時候你手上的期權合約跌的不是1%。 這個背後的數學理論你可以去翻看Black-Scholes Model 和 Ito's Lemma.

❿ 期權期貨BS模型中N（d1）怎麼算

black-scholes考慮了期權的時間價值。
1.bs公式的原推導過程應用了偏微分方程和隨機過程中的幾何布朗運動性質（描述標的資產）和Ito公式，你要沒學過隨機和偏微估計只有火星人才能給你講懂。
2.你要是只是要得到那個形式，看一下二叉樹模型，二叉樹模型簡單易懂，自己就可以推導，且二叉樹模型取極限（時間劃分無限細）即為bs公式.
3.你要是真心要理解bs模型公式，我可以推薦一本書，姜禮尚的《期權定價的數學模型和方法》，老老實實從第一章看到第五章，只挑歐式期權看就夠了。
～～～突然想當年老娘為了看懂b-s-m模型把圖書館的書都借了一圈～感慨啊，當然HULL的那本option,future,and other derivatives 是經典中的經典，不過太厚了～～