傅里叶分析期货

A. 为什么说傅里叶分析改变了世界观

人们通常会直觉地认为，光滑函数通过加减乘除复合得到的函数应该还是光滑的。但根据傅里叶相关理论，锯齿波、方波等不光滑的函数可以用无穷多个不同周期的正弦函数序列叠加而成，从这个角度来讲，可以算是改变了一些人的世界观。从哲学的角度来看，这其实就是量变到质变的过程，或者说极限带来的效应。
另一方面，傅里叶分析在信号处理、热分析等领域有着广泛的应用，特别是前者在当今社会通信领域应用无处不在。它将时域信号转换到频域进行分析，能从看似杂乱无章的信号中分析出有价值的信息，从这一点来说，也算是改变了人们的世界观。

B. 傅里叶分析的基本简介

傅里叶分析（Fourier analysis）是分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质，又称调和分析。
法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。
由三角函数系{cosnx,sinnx} (n=0,1,2，…）组成的无穷级数称为三角级数，其中αn,bn为系数，与x无关。若级数⑴对于一切x收敛，它的和记为(x）：
则(x）是一个具有周期2π的周期函数。上式两边分别乘以cosnx或sinnx，并且在（0,2π）上同时积分，就得到公式上面的运算是形式的，因为符号Σ与积分的交换缺乏根据。为了保证上述运算的正确性，应当对级数⑴的收敛性加以必要的限制，例如一致收敛性等。但是，上面提供的纯形式运算，却提出了一个很有意义的问题：如果(x）是一个给定的以2π为周期的周期函数，通过⑶可以得到一列系数αn,bn，从而可构造出相应的三角级数⑴。这样得到的三角级数⑴是否表示(x）？正是傅里叶，他首先认为这样得到的级数⑴可以表示(x）。
给定(x），利用⑶得到的三角级数⑴，称为的傅里叶级数，而称⑶为的傅里叶系数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函数系。特别，（n=0，±1，±2，…）是[0,2π]上的规范正交函数系，函数关于它的傅里叶级数为称为 的傅里叶级数的复形式。

C. 比较好的 傅里叶分析 的数学书

《傅里叶变换》冷建华 编著 清华大学出版社 2004年
本书全面完整地论述了傅里叶变换的理论和方法，全书共分9章。第1章信号基本概念的基础，第2章介绍连续傅里叶级数变换和连续傅里叶变换，第3章介绍拉普拉斯变换，第4章介绍离散傅里叶级数变换和序列傅里叶变换，第5章介绍Z变换，第6章介绍离散傅里叶变换。在介绍了所有7种傅里叶变换后，第7章和第8章集中介绍了离散傅里叶交换的各种快速算法。最后一章简要地介绍了一般的变换理论以及一般变换的主要应用。
本书对从事通信、雷达、声纳、导航、遥测、遥感、遥控以及各种信号处理工作的信息科学和技术工作的学者、研究人员以及初学者将是一本好的参考书。

D. 利用excel进行傅里叶分析做出了数据的频谱图后，怎么对频谱图进行分析

1.EXCEL分析工具库中内置了分析工具“傅利叶分析”，其功能是进行离散型快速傅利叶变换（FFT），也可进行傅利叶逆变换。
2.傅利叶变换是将时间序列数据转换为频率序列数据，以便了解序列的频率构成。
对于时间序列可展开为傅利叶级数：

式中：

N为观测值个数；k为周期分量个数；fj为频率（＝j/N）
εt为误差项，是由于选取级数前k项所产生的。
时间域序列xk变换到频率域序列ωj的公式如下:

式中：N为序列数据项数，对第j个分量：
aj为实部，bj为虚部，模 ，辐角
3.所关心的是序列主要由哪些频率成份构成及其振幅。操作方法如下：

Step1．取得时间序列数据{xk}，要求项数N为2的整数次幂，即2、4、8、16、32…，项数最大限制为4096。N选择多大为好，要视频谱分析时要分析的项数。N个数据中，最多能分析N/2+1个频率构成。
Step2．时间序列{xk}各项减其平均数E(xk)得中心化时间序列；
Step3．利用“傅利叶分析”工具进行快速傅利叶变换，得ωj；
Step4．利用IMABS()函数求得复数的模。该序列第1项为0，去掉之，从第2项起共奇数项，中间项为常数项，两侧是完全对称的。绘制折线图观察之，通常只观察前半部分；
Step5．更改横坐标，观察频率分布。
需要指出的是：数据系列的周期性，是系统的特性，并不是由采样的时间间隔和样本量的多寡所决定。
5.应用举例：何先生，在自己所从事的工作中，以每分钟等间隔抽样200次，抽取了168383条记录，下图中只列出前几条：

6.以CH#1为例，从中按顺序选择样本量为128的样本，编制频谱分析图如下：
Step1:先按顺序截取128个样本单位的样本（必需是2的整数幂，本例为27）

Step2:在C1单元格输入“=AVERAGE(B2:B129)”求得平均数，在C3单元格输入公式，求得观测值与平均值之差，并向下复制到B3:B129。
Step3:工具|数据分析|傅利叶分析，设置对话框如图3，求得如图2中D列的傅利叶变换。

Step4:在E2单元格输入如图2所示函数，求得D2单元格复数的模，向下复制到B3:B129。将B2:B129制成折线图如图。

由图可见，图形是完成对称的，通常只看前面一半。需要指明的是该频谱图是由系统特性决定的，样本量不同，其频谱是类似的，只是图形密集程度不同和模的大小不同。模是由多个周期样本模的叠加的结果，样本量越大，模越大。但这一点并不影响分析的结果，我们只考虑频率强度从大到小的有限个频率，即考虑主要频率构成。
Step5:确定横轴分类标志:
将图形的横轴先进行编号，编号从0开始，本例选择128个样本单位，编号为0~127，然后再用编号值除以128，得到一个周期，周期的倒数即为频率。
按此方法制作了N=512、N=2048和N=4096的频谱图如下：

7.由图可见，样本量越多频率构成越丰富。但分析频谱时，都集中在峰值附近，不能反映面上的情况。由图可见，模较大的频率成分周期分布在0.13~0.26之间，也就是频率在4~8之间，我们选择N=256项进行分析完全够用。由于图形是对称的，只看前半部分，128项，分析占总数约10%的成份，即分析12个主要频率。操作：
（1）按顺序选择256项数据，并求平均数，进行中心化平均，使均值为0；
（2）利用“傅利叶分析”工具求得快速傅利叶变换；
（3）选择一半的数据（从第2项到第129项）
l 利用“=IMABS(D3)”求得复数的模。
l 从第2项开始从1进行编号；以编号值除256得周期序列。
l 将周期序列求倒数得频率。
l 以频率为横坐标、模为纵坐标绘制频率分布图：

（4）利用“=IMREAL”函数提取实部，用“=IMAGINARY”函数提取虚部，形成序列值。
（5）筛选主要成分。
l 在L列输入第k大的顺序号；
l 在M列输入“=LARGE($E$3:$E$130,L2)”提取第k大傅利叶变换的模；
l 在N列输入：“=MATCH(M2,$E$3:$E$130,0)”提取第k大的顺序号；
l 在O列输入：“=INDEX(I$3:I$130,$N2)”提取第k大的实部；
l 在P列输入：“=INDEX(J$3:J$130,$N2)”提取第k大的虚部；
l 在Q列输入：“=INDEX($H$3:$H$130,N2)”提取第k大的频率。

于是得函数主要成分的傅利叶级数中的主成分：

E. 傅立叶分析有什么用,分析后也看不出什么啊

傅里叶分析其实就是把原信号（命名为A）分解为一系列不同频率正弦，余弦信号的叠加。我们通过分析这些正弦，余弦信号通过系统后的效果，来替代分析原信号A的效果。

像你举得例子中，最后一页告诉了我们对不同频率W下的幅值A和相位， 这样 分解后的三角信号 Asin(wt+a)不就出来了么

最后说一下傅里叶分析的用途，卷积是一种运算法则，它在分析信号通过系统后的输出时非常有用，而傅里叶变换的一大优点则是将复杂的卷积变成简易的乘积

F. 关于傅里叶分析中的不理解之处(实际上是一个高数问题)

红框里的式子，当l趋向无穷时，就等于后面那个红框的积分，这个就是黎曼积分的定义啊。
至于积分上下限为啥是无穷，因为第一个红框的求和是从负无穷到正无穷。

G. MATLAB simulink中，傅里叶分析模块是干嘛的啊

1、Simulink是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的matlab工具箱。在simulink仿真环境中，用户可以通过点击拖动鼠标的方式绘制系统或电路，并完成对系统的仿真，其系统的函数和模型都是框图来表达，框图之间的连线则表示了信号流动的方向，即后面模块的输入就是前面模块的输出。
2、傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数或者他们积分的线性组合。傅里叶变换是对信号的正交分解。
3、很多关于电、通信的领域都需要傅里叶变换。比如：网络理论、信号与系统等课程，关键用于对信号的分解，就是说一个复杂的信号经分解，我们可以得到多级的正弦波的叠加，一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号经过上述分解后有助于对信号进行处理和分析。

H. 傅里叶分析的介绍

傅里叶分析Fourier analysis 分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质。又称调和分析。在经历了近2个世纪的发展之后，研究领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群。关于后者的研究又成为群上的傅里叶分析。傅里叶分析作为数学的一个分支，无论在概念或方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展。数学中很多重要思想的形成，都与傅里叶分析的发展过程密切相关。

I. 小波分析和傅里叶分析有什么区别，或者说两种方法的优势和缺点各是什么求解释

根本些的区别，就是傅里叶分析里，和原函数做内积的函数是正弦波，小波分析里面的小波变换和原来函做内积的函数就不是正弦波了，而是一些时频支集上都相对集中的函数，称为小波，要满足些性质，比如在整个区间上的积分是0，一般需要单位化，然后就会多出来一个尺度，这个尺度把基本小波做拉伸和缩放，构造出一系列的小波集。
时频分析一般会先讲加窗福利叶变换，然后引出小波变换，最后会讲Wigner-ville分布。
这是基础方面的知识。
至于应用的话，要根据具体的情况具体的对待的，什么时候该用什么才好是要看具体的问题的。

J. 傅里叶分析的发展现状

20世纪 20世纪初，H.L.勒贝格引入了新的积分与点集测度的概念，对傅里叶分析的研究产生了深远的影响。这种积分与测度，现在称为勒贝格积分与勒贝格测度，已成为数学各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒贝格用他的积分理论，把上面提到的黎曼的工作又推进了一步。例如，根据勒贝格积分的性质，任何勒贝格可积函数的傅里叶级数，不论收敛与否，都可以逐项积分。又例如，对于[0,2π]上勒贝格平方可积的函数，帕舍伐尔等式成立
傅里叶级数，特别是连续函数的傅里叶级数，是否必处处收敛？1876年P.D.G.杜布瓦－雷蒙首先发现，存在连续函数，它的傅里叶级数在某些点上发散；后又证明，连续函数的傅里叶级数可以在一个无穷点集上处处发散。这反面结果的发现提醒人们对傅里叶级数的收敛性应持审慎态度。 进一步的研究导致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立单位圆上H空间的理论。他们研究了单位圆内使有界的解析函数F(z），这里0<r<1，而p>0。这类函数的全体，称为H空间，它是近代H空间理论的先驱。
通过傅里叶级数刻画函数类是傅里叶分析中的重要课题，著名的帕舍伐尔公式以及里斯-费希尔定理反映了函数类l(0,2π）的特征。如果P≠2，则有以下的豪斯多夫-杨定理。 设1<p≤2,p┡=p/(p-1），如果∈l(0,2π），Cn是的复傅里叶系数，那么
反之，如果{сn}(-∞<n<；∞）是满足的复数列，那么{сn}必为中某函数的傅里叶系数，且。 20世纪50年代以前的重要工作中，还应当提到哈代与李特尔伍德的其他许多贡献。特别是30年代，他们用极大函数研究傅里叶级数，取得了很深刻的结果。极大函数是一种算子，它的定义是极大函数M ()(x）比函数自身要大，用它来控制傅里叶分析中某些算子，可以达到估计其他算子的目的。
50年代以前，傅里叶分析的研究领域基本上限于一维的具体空间，50年代以后的研究，逐渐向多维和抽象空间推广。 积分理论名称：考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论
由于偏微分方程等许多数学分支发展的需要，50年代出现的考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论，标志了调和分析进入了一个新的历史时期。例如，当∈l(Rn），泊松方程Δu=的基本解u(x）的二阶导函数，在一定条件下（例如具有Lipα连续性），可以表成如下的奇异积分
сn为某常数，仅与维数n有关。积分 ⑻作为勒贝格积分一般是发散的；注意到Ωj(y）在R的单位球面S上的积分为0，可以证明，积分⑻在柯西主值意义下存在，并且作为x的函数是连续的，从而u(x）是泊松方程的解。
考尔德伦、赞格蒙研究了一类相当广泛的奇异积分算子⑼的性质，这里Ω(y) 是具有一定光滑性的零阶齐次函数，且满足条件。他们证明了这种积分算子具有l有界性（p>1）；利用这些性质，可以得到某类微分方程中解的“先验估计”。
h空间理论的近代发展 E.M.施坦、G.韦斯于20世纪60年代，引进了上半空间上的h空间，它们是n=1的推广。当n=1时，h(p>0）空间中的函数在R=(-∞，∞）上的边值函数几乎处处以及在l范数下都存在，施坦、韦斯定义的多维空间，显然是一维h(R崹）空间的推广。人们自然要问，经典的h(R崹）空间中最基本的性质，例如边值函数的存在性等，在多维空间中是否还被保留？施坦、韦斯首先发现，p>(n-1)/n时，答案是肯定的；例如他们证明，若F∈，p>(n-1)/n，那么几乎处处以及在L范数意义下都存在。1964年，考尔德伦、赞格蒙利用高阶梯度概念，原则上把h空间的上述限制p>(n-1)/n放宽为p>0，但他们的方法比较复杂，随着指标p的不同，h空间定义的一致性，当时并不清楚。
70年代初，h空间的近代理论经历了引人注目的发展。D.L.伯克霍尔德、R.F.冈迪、M.L.西尔费斯坦于1971年，首先就一维的情形，证明的充分且必要的条件是，F(x+iy）的实部u(x,y）的角形极大函数，
稍后，C.费弗曼、施坦又把上述特征推广到多维中去，并且进一步指出，当0<p<；∞时，(x）作为中某函数的边值函数的充分且必要的条件是：存在充分光滑的函数φ(x），，使得关于φ的角形极大函数，这样，作为h(R）函数的实变函数论特征，它完全可以脱离泊松核，也无需借助于解析函数或调和函数的概念，而纯粹是实变函数论的一种内在特性的反映，这是出乎人们的想象的。 对于R=(-∞，∞）上定义的非周期可积函数(x），傅里叶积分
代替了傅里叶级数⑴，而称为的傅里叶变换。
傅里叶级数⑴ 和傅里叶积分⑽的具体形式不同，但都反映了一个重要的事实，即它们都把函数分解为许多个分量e(-∞<z<；∞）或e(n=0，±1，±2，…）之和。例如对于傅里叶级数⑴，(x）分解为сne(n=0，±1，±2，…）之和；而傅里叶积分⑽则表明，(x）可以分解为无穷个弮（z)e(-∞<z<；∞）之“和”。分量的系数сn(n=0，±1，±2，…）以及弮（z)(-∞<z<；∞）的确定，也有类似之处。事实上，它们都可以用下面的形式来表达：
。⑾
当为具有2π周期的周期函数时，G=(0，2π），
，测度 是G=[0,2π]上的勒贝格测度，此时，即傅里叶系数⑷；当 为定义在（-∞，∞） 上的非周期函数时，x(t)=(-∞<x<；∞），而是（-∞，∞）上的勒贝格测度，公式⑾即为傅里叶变换。
把函数分解为许多个“特殊”函数{e}之和的思想，启发人们考虑更为深刻的问题。事实上，从群的观点看，无论是周期函数还是非周期函数，它们的定义域都是拓扑群G，就是说，G有一个代数运算，称为群运算，以及与之相协调的极限运算，称为G的拓扑。傅里叶级数或傅里叶积分的任务，正是研究G上定义的函数(x）分解为群上许多“特殊”函数（例如e或e）之和的可能性，以及通过傅里叶系数或傅里叶变换来研究自身的性质。对于一般的拓扑群G，相当于{e}或{e}的“特殊”函数是哪种函数；把这种“特殊”函数x(t）代入公式⑾，又必须确定G上的测度μ，以求出 的傅里叶变换，这是在群上建立傅里叶分析理论所必须解决的两个基本问题。对于直线群R=(-∞，∞），它的 “特殊”函数x(t)=e(-∞<x<；∞）的特殊性，就在于它们满足以下的三个条件：①x(t+s)=x(t)x(s），②|x(t)|=1，③x(t）是t的连续函数。用群表示论的术语来说，条件①、②、③合起来，正好说明x(t）是群R的一个酉表示，而且进一步可以证明，满足①、②、③的不可约的酉表示的全体就是 {e}(-∞<x<；∞）。对圆周群T而言，T的“特殊”函数全体xn(t)=e(n=0，±1，±2，…）除满足①～③以外，还满足条件④xn(2π)=1。从群表示论的观点看，条件①～④合起来，说明T的“特殊”函数正好是群T的酉表示；进一步则可证明，T的一切不可约酉表示正好就是{e|n=0，±1，±2，…}。这样，寻找一般抽象群G上合适的“特殊”函数的问题，就转化为研究和寻找群G上一切不可约酉表示的问题。对于紧群或局部紧的交换群，群表示论的结果已经相当丰富，相应的“特殊”函数的研究也比较成熟。至于既非交换又非紧的拓扑群，寻找相应的“特殊”函数，尚是一个值得探索的难题。
研究拓扑群上的测度是建立群上傅里叶分析的另一个基本课题，因为群上的积分⑾离不开相应的测度。以可加的局部紧拓扑群R=(-∞，∞）为例，经典的勒贝格测度的主要特点是：①R中任一紧集的勒贝格测度必为有限；②R中任何可测集的勒贝格测度关于右（或左）平移是不变的。人们自然要问，一般的拓扑群上，具有①、②两条件的测度（现在称为哈尔测度）是否存在？存在的话，是否唯一？这个问题，自1930年以来，经A.哈尔，A.韦伊以及И。М.盖尔范德等人的努力，已经证明，在局部紧的拓扑群上，满足条件①、②的哈尔测度是一定存在的，并且相互间仅差常数倍。例如，以乘法为群运算的全体正实数构成一拓扑群R，它的拓扑就是欧氏空间的拓扑， 那么测度dμ=xdx就是R上的哈尔测度。这是因为，对于任意的，
这说明测度dμ=xdx关于位移是不变的。如果进一步求出群R的一切不可约酉表示，则经过计算，可以证明R的一切不可约酉表示就是{x|- ∞<t<；∞}。这样，由公式⑾，对于群R上的可积函数(x), 的傅里叶变换。
上式表达的弮（t）正好又是经典的所谓梅林变换M (x），是R.H.梅林19世纪末为研究狄利克雷级数的有关性质时引进的。这个特例说明，群上的傅里叶分析，不仅把梅林变换统一到傅里叶变换中来，更重要的是，群论观点的引入，使得隐藏在某些现象背后的内在联系，被揭示得更清楚更深刻了。 A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed.,Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959.
E.M.Stein,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ. Press,Princeton,1970.
G.M.Stein and G.Weiss，Introction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
E.Hewitt and K.A.Ross,Abstract harmonicAnalysisVol.1～2,Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.