ito期权期货

❶ 关于perpetual american option的自由边界

有关期权的定价首先要明白两个原理：无套利和风险中性，所有的数学推演都是在这两个前提假设下展开的。
为了引出永久期权的定价，必须先介绍一个非常经典的思想方法：Δ对冲技巧。也就是通过构建一个由原生资产（股票）和期权的投资组合∏=V-ΔS，使得在经过一段时间以后，投资组合的收益在弥补了卖空股票的红利损失后与买入同样价值国债相当。也就是说dV-ΔdS=r(V-ΔS)dt+ΔSqdt。因为是永久期权，所以V只和S有关，而根据期权理论研究一贯的假设S满足ds=r(S,t)dt+σ(S,t)dWt，用ito公式对该式做全微分，可以得到Δ=dV/ds（这部分不明白可以看看相关参考书，因为这个内容属于BS定理，一般在美式期权之前教授，我看你没问，应该多少懂一点）
把Δ=dV/ds代回到dV-ΔdS=r(V-ΔS)dt+ΔSqdt，就可以得到方程了
[(σS)^2*d^2V/(dS)^2]/2+(r-q)SdV/dS-rP=0
同时还有初值条件V(S0)=S0-K(敲定价)，V(0)=0（股价跌到0当然期权也就废纸一张了）
到这里其实就是很基本的工作了，因为不同于有续存期的期权方程需要用到热传导方程解法，现在的方程[(σS)^2*d^2V/(dS)^2]/2+(r-q)SdV/dS-rP=0就是一个简单的二阶常微分方程了，用特征根的方法和两个定解条件很容易求得V(S)=S0^(-a)+(S0-K)*S^a 其中a是特征根方法下，大于0的那个根。
下面的这一步应该就是永久美期解法中最核心的部分。
如上得到的期权定价是一个关于S0的函数，换言之，期权持有人需要决定在S0为多大时，他行权可以获得最大收益。这就是所谓的自由边界，V(S)与S0的大小息息相关，相互决定。
现在要做的就是把V看成S0的函数，对S0求导，当dV/dS0=0时，所确定的S0，就是使V(S,S0)最优的S0，我做出的结果是S0=[a/(a-1)]*K，代回V，就得到期权的定价V(S)={[(1-1/a)^a]*(K^1-a)*(S^a)}/(a+1)

不知道你能不能看懂，我想看这个问题应该是研究生了吧，静下心来好好推导一遍，也不是非常难的。

❷ 准备去美国读金融硕士，应该提前看看哪些金融方面的书

其实习题无所谓

Pindyck, Rubinfeld的微观是基础 Varian的中级微观还是很必要的

Dornbusch的宏观是国际视野的宏观经济学 他本人的超调模型尤为著名 Blanchard的宏观也是很优秀的作品 宏观的全球视角不是Blanchard的 而是萨克斯的 他是休克疗法比较早期的倡导者 也是很好的教辅 看看基础就可以了 因为像经济学专业都会参考Romer的高宏或者 Barro的经济增长 那些都是模型讨论 对你不是很有用

国际经济学Krugman的书足够了 你是学金融的 没必要看太多经济理论方面的书 主要还是了解framework, model和词汇的表达

Rosen的财政学也基本上看看就可以了 对金融没有什么特别帮助

Mishkin的教材是核心 是重点 好好看 从金融基础到金融市场 乃至国际金融 还是金融危机的案例讨论 是相当好的教材 Handa的货币经济学是理论类的高级教材

国际金融参考Krugman的国际经济学 里面的后半本都是国际金融 enough了

Hull的书不是那么好看的 我建议你可以先看看金融数学 把Ito微分的由来和用途搞清楚 然后再看Hull的书 另外Hull的书还注重实务操作 有很多很实际的例子 不是一下子能把握的了的

Bodie的投资和Ross的公司财务都是很经典的作品 确实可以看看

计量的话 Woodridge 的计量经济学导论是很好的入门教材 里面还涉及了金融时间序列分析 Enders的或者Tsay的金融时序分析也是很高的教材 但是后面的教材对矩阵分析的能力要求很高 概率论的要求更不用说

数学的话 推荐统计推断 很优秀的应用概率论教材 如果真的决心学习金融定价的话 需要从数学分析原理-实分析-测度一条线 随机过程的话参考Ross和Shreve的教材 数值模拟方面的书也是很有必要的 另外你要做好学计算机的准备 如果是读金融工程的话

所以最好是现在把
Investments
Corporate Finance
Mishkin's Econ of Money, Banking and Financial Markets
Hull's Derivatives
Ross的应用随机过程看懂 里面的词汇牢记 就很好了

❸ ito引理是什么

那是期权定价里用来求解随机微分方程的公式

❹ 想要完全掌握金融工程需要哪些学科的哪些教材

金融工程是一门比较难的学科，综合性很强，不是看几本书就可以自己成功，完全掌握的。至少我是这样认为，这个学科综合了金融，数学，计算机三个学科。下面就推荐几本这几个学科的教材供参考吧。

• 首先是计算机

基本的编程一定要会的，所以先学习一个C语言。我推荐你可以看看谭浩强的中国高等院校计算机基础教育课程体系规划教材：C程序设计（第4版）这本书还是写的很详细；其次是学习MATLAB我前面为什么要提到C语言，因为你想学习MATLAB，你必须有一个C语言基础。我建议MATLAB R2012a完全自学通（升级版）这本书；

总的来说，如果你的时间充裕的话，建议跟着正规的教学计划去学习，去旁听学校的课程，这会比自己一个人摸黑探索来的更有效率的。

❺ 期权定价的数学模型和方法的图书目录

再版序言
第一版序言
第一章风险管理与金融衍生物
1.1风险和风险管理
1.2远期合约与期货
1.3期权
1.4期权定价
1.5交易者的类型
第二章无套利原理
2.1金融市场与无套利原理
2.2欧式期权定价估计及平价公式
2.3美式期权定价估计及提前实施
2.4期权定价对敲定价格的依赖关系
习题
第三章期权定价的离散模型——二叉树方法
3.1一个例子
3.2单时段一双状态模型
3.3欧式期权定价的二叉树方法（Ⅰ）——不支付红利
3.4欧式期权定价的二叉树方法（Ⅱ）——支付红利
3.5美式期权定价的二叉树方法
3.6美式看涨与看跌期权定价的对称关系式
习题
第四章Brown运动与ItO公式
4.1随机游动与Brown运动
4.2原生资产价格演化的连续模型
4.3二次变差定理
4.4ItO积分
4.5ItO公式
习题
第五章欧式期权定价——Black-Scholes公式
5.1历史回顾
5.2Black-Scholes方程
5.3Black-Scholes公式
5.4Black-Scholes模型的推广（Ⅰ）——支付红利
5.5Black-Scholes模型的推广（Ⅱ）——两值期权与复合期权
5.6数值方法（Ⅰ）——差分方法
5.7数值方法（Ⅱ）——二叉树方法与差分方法
5.8欧式期权价格的性质
5.9风险管理
习题
第六章美式期权定价与最佳实施策略
6.1永久美式期权
6.2美式期权的模型
6.3美式期权的分解
6.4美式期权价格的性质
6.5最佳实施边界
6.6数值方法（Ⅰ）——差分方法
6.7数值方法（Ⅱ）——切片法
6.8其他形式的美式期权
习题
第七章多资产期权
7.1多风险资产的随机模型
7.2Black-Scholes方程
第八章路径有关期权（Ⅰ）——弱路径有关期权
第九章路径有关期权（Ⅱ）——强路径有关期权
第十章隐含波动率
参考文献
名词索引
……

❻ 本科生适合读 约翰·赫尔的 期权、期货及其他衍生品 吗

这要看你学的什么专业了，如果数学基础比较好的话，读起来比较容易。
其实除了微积分之外，只要知道ito公式和Girsanov变换就够了。如果你把这两个东西补一下，同时有点微积分基础的话，读这本书没什么问题。
不过怎么说呢。。。这本书主要是为矿工服务的。。。金融危机之后，貌似矿工行业很不景气啊。。。

❼ 突发事件对投资期权的影响

矿业项目是投资周期长、投资额度大的经营项目，同时一些国家的政治形势、经济环境，以及市场环境的状况等，都直接影响着矿业投资项目的正常发展。

（1）矿业投资的期权特性

设某企业面临一个境外矿产资源开发的投资机会，在该投资项目从建设期到营运期的全过程中，可能存在下列的各种实物期权，这些实物期权的存在将有效提高管理者的营运机动性和战略适应性。

1）延迟投资期权。矿业投资受许多不确定性因素的影响，由于难以得到这些不确定变量的真实资料，可以暂缓进行大规模的投资，这就是所谓的延迟投资期权。因此，假设当前时刻为0，在以后任意t时刻，若该项目预期可实现的各期净现金流量的现值之和为V_t，项目投资的现值之和为I，则该延迟投资期权在该时刻被执行时的价值为max（0,V_t-I）。对于企业来讲，可以通过租赁或签订买权合同来构造延迟投资期权。

2）扩张期权。如在项目进行过程中发现矿产品市场比原来预期的要好得多，则可以考虑加速或扩大投资计划，例如可通过追加投资I_E，使得项目的价值增加x%，这称之为扩张期权。扩张期权实际上可以看成是一个买权，其执行价格即追加投资I_E。如果项目在t时刻的价值为V_t，则此时扩张期权的执行价值为max（0,x%V_t-I_E）。也就是说，一个具有扩张期权的投资项目，可以看成是一个价值为V_t的基本项目加上一个未来可追加投资的扩张期权。

3）收缩期权。收缩期权的作用恰好与扩张期权相反，它在市场实际状况比预期差的情况下，企业缩减原计划的投资规模。其结果一方面节约了部分投资I_c，同时，使得项目价值从原来的V_t相应减少了c%V_t；收缩期权执行时的价值为max（0,I_c-c%V_t），即如果I_c大于项目价值的减少额c%V_t时，企业将执行该卖权，即决定收缩项目。否则，项目仍将按原计划进行。

4）停启期权。如果矿产品市场出现暂时的不景气，价格的下跌使开采所得的现金流不足以补偿变动成本，矿山企业暂时停止开采，等矿产品的市场价格回升后再重新启动。但在项目的暂停及重新启动过程中，相应的成本因素不容忽视。对于项目寿命期内任意一年t，设项目当年预期产生的收入为R_t，相应的成本为C_t，且忽略停启成本不计，则停启期权可以看成是企业拥有一个以执行价格C_t获得项目预期收入R_t的买权。显然，R_t大于C_t（收入大于成本）是企业执行该买权的前提，即该买权执行时的价值为max（0,R_t-C_t）。

5）放弃期权。所谓放弃期权，是指在项目建设过程或寿命期内，企业根据其实际运行结果决定放弃投资，将项目资产残值变卖或转向其他有价值的项目。因此，放弃期权的执行意味着项目的半途中止。假设项目的价值是V_t，项目资产的残值或转向他用的价值是A。当A大于项目价值的V_t时，将执行放弃期权。

6）企业增长期权。企业增长期权是指该项目与其他有价值的项目之间构成了一个价值链，因此该项目的实施可能为企业今后的发展创造更加广阔的空间和机会。例如，对于煤电一体化的企业来说，一个煤炭开发项目中的投资，如果孤立地看，由于成本较高，该项目的实施本身并无多大的吸引力，但从战略角度看，项目的实施能够降低与其相关的发电部门的生产成本，增加其相应的收益，从而大大增加公司在市场上的竞争力。因而，对于某些矿业投资项目来说，项目的价值并不取决于其本身所产生的净现金流大小，而是表现在其为企业所提供的未来成长机会。从期权分析的角度看，企业增长期权属于期权的期权，即不同项目的复合期权。

（2）矿业境外投资中的各类突发事件

法律问题。境外投资办矿应特别注意投资国的法律问题，如果处理不当，很可能引发一系列冲突和矛盾。比如我国某公司秘鲁铁矿，曾频繁出现工人罢工事件，其原因就在于该公司在当时还不了解当地工人福利、劳工保障、工会组织形式等相关法律制度的情况下，同企业工会组织签订了多达35项的福利条款协议，包括公司秘铁职工及其家属全部享有免费医疗、免费教育、免费居住和免费水电等，致使企业萧条后工人罢工、企业停产等事端不断。

另外，对于投资国环境保护的法律也要特别关注。1993年我国某矿产公司与巴西一企业在巴西的贝罗奥里藏特市合资建立了一座小型炼铁厂，考虑到巴西有丰富的铁矿资源并拥有大面积森林，从而决定用木炭炼铁，1t生铁消耗5m³木材。可是没有料到，炼铁厂刚刚建成投产，巴西国会就通过了一项保护森林资源的法律，严禁乱砍滥伐森林树木。突然之间炼铁厂失去了能源，而巴西又缺少炼焦煤，失去木炭来源，炼铁厂只好报废，对企业造成了巨大的损失。

合同问题。独资或合资到国外开矿，涉及所在国法律的问题很多，如果对于该国法律了解不全面，签订的合同条款不严谨，或者双方未能有效沟通，会给日后的经营带来不少麻烦。例如，我国某公司花1.2亿美元收购了秘鲁某铁矿，同时承诺在3年内每年再投入5000万美元用于矿山发展。合同生效矿山运营后，该公司也投入了一定的资金，但秘鲁方面却认为中方失约，未履行承诺，表示要收回该矿。其原因就在于秘鲁方面所指每年投入5000万美元必须是由秘鲁境外投入，由境外汇入其境内，而在其境内赢利再投入则无效，既使企业盈利也必须先汇出秘鲁然后再由境外汇入才算有效。首钢当时对此没有注意，因为外汇由秘鲁汇出，秘鲁可获得红利税。

（3）突发事件对矿业期权投资影响的理论分析

矿业投资项目受许多不确定因素的影响，这些不确定性因素包括市场性的因素和非市场性的因素，给矿业投资带来较大的投资风险。我们把这种非市场性的不确定性因素称为突发因素，包括经济环境的变化、政策因素、新工艺技术出现等。突发事件具有随机性，在有突发事件存在的情况下，矿业投资项目的投资价值的随机过程可由下式表达：

dV＝（r－δ）Vdt＋σVdz+Vdq （8.10）

式中：r为无风险利率；δ为市场风险贴水；σ为投资价值波动率；dq为突发事件对投资价值的随机影响，其为平均到达率为λ的poisson过程。

许多突发事件是可预期的，但其到达的时间是随机的，突发事件对矿业投资价值的影响可能是正的影响，也可能是负的影响。其发生的概率分别为π和1－π。dq对投资价值的影响程度可用百分比值θ来表示。dq在不同的取值θ下发生的概率P 为

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设F（V）为投资项目的期权价值，在最优投资时点上，有

F（V^*）=V^*-I （8.12）

当投资者立即投资时，投资者就放弃了继续等待的期权，并产生了投资机会成本。若dF（V）的期望值E[dF（V）]=rF（V）dt，投资者可选择继续等待，即暂且不进行项目的投资。由Ito定理知：

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dz为均值为0的正态分布，且假设投资机会可以推迟很长时间，投资机会就像一个美式永久期权，F的取值与时间t无关，因此有

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式8.13可改写为

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上式化简为

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边界条件为

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式8.14的解的形式为

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这里有：

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由边界条件可求得V^*：

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（4）实例研究

某矿业集团对其境外的某矿山进行改扩建投资，项目的初始投资成本为8000万元。该矿山投资项目可看作为一风险投资。根据市场调查资料，其矿产品价格的期望增长率为0.01，波动率为0.1；单位生产成本的期望增长率为0.01，波动率为0.1。投资时的初始矿产品价格为410元/t，初始生产成本为220元/t，该矿业投资项目的年产量为300万t，服务年限为20年，社会无风险利率为8%。由净现值法（NPV法），该矿业投资项目的净现值可表示为

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ⅣPV法反映了立即进行投资时的矿业投资价值。而在大多数情况下，投资者在投资时机上具有很大的选择性，即投资灵活性。矿山投资灵活性的价值反映了矿山投资的期权价值。此外，矿山投资项目受许多突发事件的影响，这些突发事件对矿山价值影响的随机过程可由式8.11来表示，设δ＝0.01，矿山投资价值波动率为0.1，θ＝0.15，π＝0.6，λ＝0.025，由式8.16和式8.17可知，在存在突发因素的影响时：

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由式8.18可得：

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F反映了矿山投资机会的价值。矿山项目的投资价值应由两部分组成：项目ⅣPV价值和项目投资机会价值（期权价值），因而在考虑突发事件影响时的矿山投资项目的价值为473474.3+66291.4=539765.7万元。由于该突发事件对矿山投资的有利影响（θ﹥0），使得该矿山投资的投资机会价值有所增加，因而增加了该矿山投资的投资价值。

（5）结论

1）矿业投资具有投资的不可逆性和投资价值的不确定性，因而具有较高的投资风险。广泛采用的NPV法在对这类项目进行评价时，未能考虑投资不确定性因素的影响，忽略了投资项目价值的未来增长机会即投资机会的价值，往往低估了项目的投资价值。实物期权评价方法把矿业投资看作为一可执行的期权，充分考虑了投资的可延迟性给投资带来的投资机会价值，弥补了NPV法的缺陷，使矿业投资项目的评价更加符合实际。

2）突发性因素也是影响矿业投资项目的投资价值的因素之一，这些因素包括经济环境因素、政策因素、竞争者的介入、新的工艺技术的出现等，突发性因素具有一定的可预测性，但其到达的时间是随机的，NPV法无法对这些突发性因素的影响进行评价和分析。借助实物期权评价方法可很好地对这一问题进行分析和研究。

3）影响投资价值的不确定性因素随机过程是复杂的。模型仍需建立在假设的基础上。当考虑的不确定性因素较多时，模型更加复杂，有时可能无法得出其解析解，需要应用数值分析的方法来进行研究。应用实物期权评价方法对矿业投资进行分析是一种可行的尝试，借助于数值分析方法和计算机手段可对更复杂的问题进行进一步的探索和研究。

❽ 期权的定价方法

这是一个老题目了，在知乎里也有一些类似的问题，但总感觉所有回答都有所欠缺，所以希望在这里对所有的数值方法进行一个梳理。按照我个人的分类，期权定价的数值方法分为五个大类：解析解方法，树方法，偏微分方程数值解方法，蒙特卡洛方法，傅立叶变换方法。

1）解析解方法：

一个期权定价问题，其实就是根据已知的随机微分方程（SDE）模型，然后来求解关于这个随机过程函数表达式的过程。这也是为什么随机微积分和Ito lemma会是金融工程的核心知识之一，因为Ito直接告诉了我们一个随机过程的函数所满足的新SDE：

m{d}f(t, X_{t})=frac{partial f}{partial t} m{d}t + frac{partial f}{partial X_t} m{d}X_t + frac{1}{2}frac{partial^2 f}{partial X_t^2} m{d}[X, X]_t

然后，如果我们可以求出这个SDE的解析解，那么一个欧式无路径依赖期权的价格就是它在终值时刻折现的期望值。这就是一种期权定价的解析解方法，当然你也可以利用PDE来求解，由于Feynman Kac定理的存在，PDE和条件期望的答案会是一致的。

而这类方法的优点是显而易见的，一旦解析解存在，那么期权的价格公式计算速度就会非常之快，不论做拟合还是优化都会有效率上质的提升，而这类方法的缺点也很明显，那就是，对于大部分模型和大部分奇异期权，解析解未必存在。

2）树方法

之所以叫树方法而不叫二叉树，是因为我们也将讨论三叉树模型，但其实本质思想是一模一样的。

如果告知你了一个标的资产的波动率，那么你可以通过下述式子构造一个N段的二叉树的上下波动：

u = m{e}^{sigmasqrt{T/N}}, d = m{e}^{-sigmasqrt{T/N}}

然后利用逆推，来得到初始时刻的期权价格。

那么三叉树呢？首先要明白一个道理，除了满足了下列条件的三叉树模型(u是上叉，d是下叉，l是中叉)

其余的三叉树都是incomplete market。在其余的树模型下，我们只能做到super-replicate，而不能完成perfect hedge。而这独有的一种三叉树模型，也成为了最常用的树模型之一。或许有人好奇为什么有二叉树了，还有人使用更麻烦的三叉树。这是因为三叉树的收敛速度要高于二叉树。

那么树模型的优缺点又是什么呢？树模型有一个任何连续时间模型都无法取代的优点，那就是每一个定价，在树模型里，不论美式、欧式、路径依赖、奇异，通过Backward Inction Principle得到价格，永远都是伴随着显式对冲策略的。而在连续时间模型里，想获得连续时间对冲策略的这类问题，是一个倒向随机微分方程（BSDE）问题，有很多时候并不是那么好解决的，尤其是当期权有奇异或美式属性的时候。

另一方面，树模型缺点也显而易见，高维度问题树模型是不能解决的，所以对于多个标的资产的问题，尤其是具有相关系数的资产，我们只能诉之于他法。而从速度上来讲，树模型的收敛速度是要低于PDE方法的。

3）PDE方法

很多对于quantitative finance陌生的人也会听说过Black Scholes PDE。而实际上，不同的随机模型，都会对应不同的PDE。BS PDE只不过是单资产符合几何布朗运动随机模型的PDE表达罢了。因为对于期权，我们往往知晓它最终到期日的payoff，所以我们用payoff函数来作为这个PDE的终值条件。

如果PDE存在解析解，最优办法自然也是求解析解。然而，如果解析解不存在，我们就必须诉诸数值方法。最常用的数值解方法就是有限差分，也就是将所有变量构造一个网格，然后利用网格上的差分方法来估计偏导数，进而将PDE问题转化为代数问题。而对于期权定价的PDE，我们会根据期权的性质，获得这个PDE终值条件和边值条件。然而，有时候根据不同的模型，我们可能得到的并不是一个简单的PDE，而可能是PIDE（partial integral differential equation），也就是在PDE中多了积分项，这时候，我们需要同时再借助数值积分来完成数值计算。

PDE的数值问题自然还有很多的选择，有限元、谱方法都在列。但期权定价PDE本身并不像很多物理PDE有很大的非线性程度，边界也并没有那么奇怪，所以基本上有限差分是可以解决绝大部分问题的。

有限差分法分三种：显式差分，隐式差分，交错差分。我们不深入研究算法，但几个点就是：稳定性上，显式差分是条件稳定的，另外两种都是无条件稳定；计算复杂度上，显示最简单，隐式次之，交错最繁琐；精确性上，显式、隐式是同阶的，交错差分的特殊情形，显式和隐式各占一半时，也就是Crank-Nicolson差分，精度会在时间上也上升一阶。

另外，在期权定价中PDE有两大类，正向和倒向。传统的BS PDE就是倒向的一个典型例子，它的终值条件就是期权的payoff function。而一个倒向PDE所对应的正向PDE，它不再是期权价格满足的PDE，而是这个标的的“价格密度”所满足的PDE。这个“价格密度”被称为State price，或者Arrow Debreu price，抑或是Green function。而这个在我之前的一篇文章有介绍过

Arrow Debreu price与快速拟合

而PDE方法的缺点主要有两点：路径依赖问题，高维度问题。很多路径依赖问题的PDE形式是很麻烦，甚至无法表达的，比如亚氏期权，比如回望期权。而对于高维度问题，如果PDE的数值方法会从平面网格上升到空间网格，在复杂度上不但繁琐，而且在边值条件上更难以控制。而PDE的优点则是速度快，而且根据差分的数值方法，在计算Greeks的时候不需要加以再次的bumping计算。举个例子，如果不降维，一个具有两个assets的期权的有限差分就是这样的一个立方网格：

4）蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是目前应用范围最广泛的方法了。因为不存在提前行权属性的期权价格其实就是一个期望，所以我们就可以通过模拟很多的路径，来用平均数估计真实期望。而美式或百慕大这种具有提前行权属性的期权，它的期权价格其实是一个随机优化问题。这类问题我们可以采用regression-based Monte Carlo，也就是最小二乘蒙特卡洛，利用regression来估计conditional NPV，然后再用蒙特卡洛求解当前价值。

所以说，蒙特卡洛方法是最为general的方法了。然而，蒙特卡洛的缺点也是显而易见：因为要模拟上百万条路径，而且对于奇异期权还要做路径上的计算，美式更要做回归，蒙特卡洛方法成为了计算时间长的代名词。但幸运的是，我们有三种提速的方法：1，利用方差缩减，在保证方差恒定的基础上，可以减少模拟路径；2，利用Multi-level 蒙特卡洛，减少complexity；3，利用GPU或超级计算机，进行并行计算。

对于普通蒙特卡洛方法，上述三种方法都是可行的，而且GPU的提速是非常显著的。对于方差缩减，得强调一点的就是，一般而言，最简单的方式是对偶变量，其次是控制变量，然后是利用条件期望，最难的是importance sampling，而在效果和适用范围上，它们的排序往往是刚好相反的。比如美式期权的最小二乘蒙特卡洛，方差缩减的最有效手法就是important sampling，其他方法的效果很小。

这里另外再着重强调一下最小二乘蒙特卡洛。最小二乘蒙特卡洛的流程大致如下：首先，正向模拟标的路径；其次，倒向在每个时间节点，对所有路径值进行回归，估算条件期望，直到初始时间点；最后，求平均。所以值得注意的一点就是，在这里，如果单纯使用GPU cluster进行提速，效果并不是很理想，因为路径模拟并不是最消耗时间的步骤，对所有路径回归才是。虽然如此，但其实还是可以用GPU cluster来对回归精度加以提升，比如可以将路径进行归类，然后将global regressor转换成多个local regressor。

总的来说，蒙特卡洛方法是期权定价中适用范围最广的数值方法，但也是最慢的方法。然而，我们可以利用方差缩减、复杂度缩减，以及GPU计算来优化我们的蒙特卡洛算法，达到提速与增加精确性的目的。

5）傅立叶方法

傅立叶方法也被称为特征函数法，利用的就是对于很多的模型，它们的特征函数往往是显式表达的，比如靠具有independent increment的infinitely divisible process来决定的模型，因为在这样的情况下，我们有Levy-Khintchine representation，很多拟合性质很好的过程，比如Variance Gamma，Normal Inverse Gaussian都属于这一类。而特征函数实际上可以看作是一个随机变量的傅立叶变换，这也就是这个名字的由来。

如果我们有显式表达的特征函数，我们可以通过傅立叶逆变换来得到原随机变量的密度，进而达到求解期权价格的目的。一般来讲，这样的方法要比PDE方法更加快速，因为数值积分的速度要比微分方程数值解的速度要快。然而，这类方法的缺陷也是显而易见的，路径依赖性和维度问题，以及我们必须要有显式表达的特征函数。

总结：

在这里，我们只讲一些面上的东西。具体深入的东西，我会在公众号：衍生财经上详谈。

❾ 为什么期权是非线性衍生工具

因为有gamma。 简单点说， 你股票涨1%你的期权合约涨的不是1%，股票跌1%的时候你手上的期权合约跌的不是1%。 这个背后的数学理论你可以去翻看Black-Scholes Model 和 Ito's Lemma.

❿ 期权期货BS模型中N（d1）怎么算

black-scholes考虑了期权的时间价值。
1.bs公式的原推导过程应用了偏微分方程和随机过程中的几何布朗运动性质（描述标的资产）和Ito公式，你要没学过随机和偏微估计只有火星人才能给你讲懂。
2.你要是只是要得到那个形式，看一下二叉树模型，二叉树模型简单易懂，自己就可以推导，且二叉树模型取极限（时间划分无限细）即为bs公式.
3.你要是真心要理解bs模型公式，我可以推荐一本书，姜礼尚的《期权定价的数学模型和方法》，老老实实从第一章看到第五章，只挑欧式期权看就够了。
～～～突然想当年老娘为了看懂b-s-m模型把图书馆的书都借了一圈～感慨啊，当然HULL的那本option,future,and other derivatives 是经典中的经典，不过太厚了～～